数学和物理到底是什么关系？

现在，我将在这里回答一个非常让人困惑的问题——数学和物理是什么关系？

所有的感受都来自于最近三年学习的经验，故事大概从三年前开始。在《刻意练习》一书中，作者说一位大师通常和新人最大的差别在于大师对所在的领域有一张巨大的地图，该地图被称作mental representation，指的是他们对自己擅长的领域拥有一个系统化的认识，将所有新手看起来零散的，毫无关联的信息连接起来。我恰好在3年前开始形成这种地图，源于我看了Dirac的《量子力学原理》。

以前一直缠绕在我脑子里面有一个很大的问题，就是我感觉自己学了很多物理，但自己还是不清楚自己到底学了什么，跟别人讲的时候又总是说不清楚。总感觉自己在看物理书的时候每遇到一个数学内容就会去学一点这方面的规则，但却总还是会遇到新的数学问题完全不理解，又在去学，学得很吃力。但这种状况在我吃力学完高等代数和群论之后发生了变化。那就是在看Dirac的《量子力学原理》的时候。我发现，之前看的量子力学课本都是先给出薛定谔方程，有的会说是猜的，然后解一大堆方程，给出解的各种性质，看似把这门课讲得很有逻辑，但让心心里很不踏实，因为自己知道自己没学懂，虽然可以解很多方程但还是不明白量子力学到底是怎么回事，怎么会这么复杂。但Dirac给出了第二个思路(这实际上是他在一开始研究量子力学的时候发表的论文证明薛定谔方程和矩阵力学等价的内容)，他先从量子力学最开始的实验开始，讲到量子力学的各种实验表明了一个问题就是测量会导致系统的某种变化，我们现在叫坍缩。这种变化带来的结果是，如果你先对其测量了一种物理量，系统就变了，如果你接着对其测量第二个经典物理中与前一个测量不同的物理量，很多时候你会得到与第一次直接测量这个物理量不同的结果。换句话说，在数学里这叫做乘法不满足交换律。假设你把测量，或者我们说算符当做数的话，这个数的乘法是不满足交换律的。那么数学上什么数是不满足交换律的？有吗？当然有！——矩阵。实际上如果你学了群论，你就知道，你可以直接抽象地构造出不满足交换律的代数，然后去找到它的坐标表示，这种表示就是矩阵。那为什么有的物理量之间测量并不会影响彼此的结果呢？因为矩阵也有对角的，对角矩阵满足交换律。

我不知道你看了这段有什么感觉，但我当时完全被震撼了，因为我第一次意识到，数学和物理不是简单的工具和使用者的关系。事实上我用了一段时间反思，发现物理和数学实际上总是一种同构的对应，同构就是说如果你拿这个理论的一个概念和另外一个领域中的一个概念把它们一一对应起来，他们之间的逻辑关系和推论都是一一对应的。上面只讲了量子力学测量和群之间的对应，实际上还有第二个对应关系，Hilbert空间和量子力学的态。但经典物理有这种对应吗？有！这个我花了2年多才想明白。首先，我们认为经典物理中所有的物理量都是实数，这本身就在经典物理量和实分析之间建立了同构（量子力学的态则与复分析对应），也就是说，实数满足任何性质和规律，经典物理量都会满足，当然量子力学中仍然会有，比如测量结果都是实数，同时，经典物理建立于3维空间之中，所以还有另外一个同构，就是3维空间的欧氏几何和牛顿力学的描述空间相对应。广义相对论只是把这个空间从欧氏空间改成黎曼几何，但实数的物理量不变，狭义相对论就是把空间变成4维闵氏空间。量子力学则没有对空间做改变，而是将物理量从实数变成算符(表示为矩阵)，量子场论则主要还是停留在在狭义相对论的闵氏空间之上将物理量变成算符。在数学上这种给定一个空间，再再空间之上定义算符，再通过算符构造函数(我们物理上真正研究的只有一个就是作用量)，被称作泛函，代数几何也许也是这个问题的深化。因为空间本身的收敛性质决定于拓扑，不同的空间的性质决定于几何，不同的物理量的性质决定于实分析，复分析，傅里叶分析，泛函分析，这样看起来很多数学框架，就被有机地结合在一起，一点都不复杂。而最终研究这些东西的结构的内容被抽象出来，称作抽象代数。所以我现在看待物理和数学，数学才是真正的理论部分，由公理和定义这些不能质疑和证明的内容，加上逻辑，构造出所有命题的集合，物理学真正做的并不是去发展数学和做推导，而只是单纯地找到数学和物理的同构关系。而且非常有意思的是，似乎所有的数学理论大自然都有对应，虽然有些是近似的。或者说是局域的。

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